Родился  5 января 1911 года в деревне Синегубово ныне Плавского района Тульской области  в крестьянской семье. Русский. Член ВКП(б) с 1941 года. Образование неполное среднее. Работал на заводе, затем председателем райисполкома в Витебской области. С 1933 по 1935 год проходил действительную срочную службу в армии. В 1938 году окончил курсы младших лейтенантов. Вновь призван в армию в июне 1941 года.

В действующей армии – с марта 1942 года. Сражался на Южном, Юго-Западном, снова Южном, Западном, 1-м Белорусском фронтах. Дважды ранен.

В 1943 году окончил Высшую офицерскую бронетанковую школу.

Особо отличился во время Варшавско-Познанской наступательной операции на территории Польши в боях по освобождению города-крепости Познань.

В боях по уничтожению окруженной вражеской группировки в районе  Познани его танковая рота глубоко вклинилась в оборону противника, вела неравный бой с врагом в окружении. Когда танк В.К.Корнеева был подбит, он трое суток отбивал атаки врага. Вел огонь до последнего снаряда, а затем отстреливался из снятого с танка пулемета. Погиб 27 января 1945 года в этом бою.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за образцовое выполнение заданий командования, проявленные мужество и  героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками Корнееву Василию Климовичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно).

Похоронен в городе Сважендз (Великопольское воеводство, Познанский повят).

Его фамилия помещена на стене Героев перед стелой на мемориале «Курган Славы» в городе Плавск Тульской области.

Награжден орденами Ленина (24.03.1945), Красного Знамени (14.08.1944) и Красной Звезды (16.01.1943).

Во время этих боев непрерывно с 19 ноября 1942 года находился в боевых порядках батальона. В ночь на 23 ноября 1942 года с группой автоматчиков в 10 человек был на танке выслан в разведку и обнаружил в районе совхоза № 86 мотоколонну отступающей немецкой 22-й танковой дивизии. Вместе с экипажем танка и своей группой атаковал колонну противника, уничтожив более 30 румынских солдат и офицеров, захватил 36 автомашин и 21 мотоцикл, не потеряв ни одного своего бойца. Был награжден орденом Красной Звезды.

В 1943 году  окончил Высшую офицерскую бронетанковую школу.

С июля 1944 года воевал на 1-м Белорусском фронте, в 34-м отдельном тяжелом танковом полку, вооруженном танками ИС-2. Полк входил в состав 8-й гвардейской армии.

Участвовал в Люблин-Брестской наступательной операции (18 июля – 2 августа 1944 года) – составной  части Белорусской стратегической операции «Багратион».

В ходе операции 8-я гвардейская армия, действуя в составе главной ударной группировки фронта, наносила удар из района  города Ковель (Волынская область Украины). Прорвав оборону противника, армия 19 июля освободила город Любомль, форсировала Западный Буг и вышла на территорию Польши. Продвигаясь на запад, 8-я гвардейская армия 24 июля освободила Люблин. 28 июля армия вышла к Висле, ее передовые отряды  1 – 2 августа форсировали реку в районе города Магнушев (в 60 км южнее Варшавы) и закрепились, создав Магнушевский плацдарм. После наведения переправы 6 августа через Вислу были переправлены тяжелые танки.

Командир танковой роты гвардии старший лейтенант В.К.Корнеев в боях с 17 по 21 июля 1944 года в районе города Любомль Волынской области  показал образы храбрости и воинского умения. 20 июля смелым обходным маневром атаковал своей ротой противника и занял деревню. Уничтожил 3 минометных батареи, 8 противотанковых орудий, 2 дзота, до 300 солдат и офицеров противника. Был награжден орденом Красного Знамени.

В составе 8-й гвардейской армии  с 14 января 1945 года участвовал в Варшавско-Познанской наступательной операции на территории Польши – составной части Висло-Одерской стратегической операции.

В ходе операции 8-я гвардейская армия, наступавшая с Магнушевского плацдарма, прорвала  три оборонительных линии противника и стремительно двинулась на запад, проходя за сутки с боями по 25 – 30 километров. 16 января армия освободила город Едлиньск, 17 января переправилась через Пилицу, 19 января взяла Лодзь, 25 января подошла к местечку Шверзенц (Сважендз) в 8 км восточнее Познани и 26 января завязала бои за Познань.

В.К.Корнеев особо отличился в этих боях.

Из наградного листа

В боях по уничтожению окруженной группировки противника в районе города Познань капитан Корнеев, вырвавшись со своей ротой танков вперед, выбил противника из первой и второй траншей. Огнем и гусеницами танка, где находился капитан Корнеев, уничтожено до 20 огневых точек. Когда танк был подбит и экипаж был выведен из строя, он сам лично продолжал вести огонь до последнего снаряда. 72 часа героически сражался с наседающим со всех сторон противником. Когда немцы окружили танк, Корнеев снял пулемет с танка и в упор расстреливал немецких автоматчиков. Будучи трижды ранен, когда не смог вести огонь из пулемета, продолжал уничтожать немцев гранатами.
80 немецких солдат и офицером уничтожено героем Корнеевым.
В неравном бою капитан Корнеев погиб смертью героя, но удержал завоеванный рубеж.

Достоин присвоения посмертно звания Героя Советского Союза.

Командир 34 отдельного тяжелого танкового полка гвардии подполковник Оглоблин
30 января 1945 года