Родился  25 декабря 1924 года в городе Колпино (ныне в городском подчинении Санкт-Петербурга) в семье рабочего. Русский. Окончил Колпинскую 8-летнюю школу в 1939 году, затем ремесленное училище № 11, работал слесарем на Ижорском заводе.
Призван в армию в 1942 году Колпинском горвоенкоматом. В действующей армии с марта 1942 года – на Ленинградском фронте.  Окончил Сызранское танковое училище в 1943 году.

Младший лейтенант А.И.Косарев прибыл с вновь сформированной  8-й самоходно-артиллерийской бригадой в январе 1944 года на Белорусский фронт.

В дальнейшем воевал на 1-м и 2-м Белорусских,  1-м Украинском фронтах.

Особо отличился во время Висло-Одерской операции на территории Польши при форсировании реки Одер и в боях на захваченном плацдарме.

В составе батареи 25 января 1945 года  под ураганным огнем противника форсировал  Одер в районе населенного пункта Эйзенау (8 километров северо-западнее города Ополе), участвовал в бою за плацдарм на левом берегу реки. Противник пытался ликвидировать плацдарм контратаками крупных сил пехоты при поддержке танков, но совместными действиями расчётов батареи все контратаки были успешно отбиты. Погиб в бою 26 января 1945 года.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года за мужество и героизм, проявленные при форсировании реки Одер и в боях на захваченном плацдарме, Косареву Александру Ивановичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно).

Похоронен в населенном пункте Вальхов (Польша).

Награжден  орденами Ленина (27.06.1945), Отечественной войны 1-й (30.01.1945) и 2-й (13.07.1944)  степени, Красной Звезды (31.03.1944).

А.И.Косарев в составе 50-й армии участвовал на Белорусском (с 24 февраля 1944 года – 1-м Белорусском)  фронте в Рогачёвско-Жлобинской наступательной операции (21 – 26  февраля 1944 года), затем, до июня 1944 года, в боях на территории  Могилевской и Гомельской областей Белоруссии.

В бою 25 марта 1944 года под селом  Красница Быховского района Могилевской области, действуя решительно и умело, из своего орудия подбил 2 полевых орудия и истребил до 13 солдат и офицеров противника. 26 марта был ранен, но в госпиталь идти отказался и остался при части. Был награжден орденом Красной Звезды.

В составе 3-й армии  на 1-м Белорусском фронте участвовал в Белорусской стратегической операции «Багратион» (Бобруйской наступательной операции (24 – 29 июня 1944 года).
В ходе этой операции в  бою под населенным пунктом Большая Крушиновка Рогачевского района Гомельской области экипаж младшего лейтенанта А.И.Косарева, умело используя местность и ведя точный прицельный огонь, уничтожил 3 пушки, 4 дзота, 2 миномета, до 18 солдат и офицеров противника. Когда машина была подожжена, А.И.Косарев вытащил из горящей машины тяжело раненого механика-водителя и отправил в госпиталь.
Был награжден орденом Отечественной войны 2-й степени.

На 2-м Белорусском фронте участвовал в Белостокской наступательной операции (5 – 27 июля 1944 года) – составной  части операции «Багратион», в ходе которой боевые действия были перенесены на территорию Польши.

15 сентября 1944 года  8-я самоходно-артиллерийская бригада более чем на  2 месяца была выведена из действующей армии и вернулась в нее 3 декабря 1944 года,  на  1-й Украинский фронт.

Здесь в составе 5-й гвардейской армии А.И.Косарев участвовал с 12 января 1945 года в Сандомирско-Силезской наступательной операции, в ходе которой 5-я гвардейская армия, действуя с Сандомирского плацдарма, прорвала оборону противника и стремительно двинулась на северо-запад, с участием 8-й самоходно-артиллерийской бригады освободила 17 января город Ченстохова и 24 января вышла к Одеру (Одра) севернее города Оппельн (Ополе).

При прорыве обороны противника в районе села Хжанув (Свентокшиское воеводство, Буский повят, гмина Пацанув), 12 января 1945 года лейтенант А.И.Косарев своей самоходной установкой поддерживая атаку пехоты, вырвался вперед ее боевых порядков и прямой наводкой уничтожил полевое орудие, станковый пулемет и 2 миномета противника, чем способствовал успешному продвижению нашей пехоты.
Действуя в боевых порядков танков, первым ворвался в населенный пункт Борек. За 12 января 1945 года уничтожил 25 солдат и офицеров противника. Был награжден орденом Отечественной войны 1-й степени.

Из наградного листа на присвоение звания Героя Советского Союза

Командир самоходной установки лейтенант Косарев в составе батареи 1-го артдивизиона под командованием командира батареи капитана Морковкина по приказу командования 178-го гвардейского стрелкового полка в числе первых пяти самоходных установок в 14.00 25 января 1945 года под ураганным артиллерийско-минометным огнем противника и бомбардировкой с воздуха форсировал реку Одер в районе населенного пункта Эйзенау и захватил плацдарм по фронту 900 м и в глубину 1,2 км. Развивая дальнейшее наступление за расширение плацдарма на западном берегу реки Одер, лейтенант Косарев совместными действиями отбивал контратаки противника численностью до двух батальонов пехоты, 10 танков и 10 бронетранспортеров, в результате чего враг понес большие потери в живой силе и технике. Приказ командования был выполнен, и захваченный плацдарм остался за нашими войсками.
В этом неравном бою лейтенант Косарев, отдавая все силы на разгром врага, выполняя приказ командования, проявил героизм, мужество и отвагу и пал смертью храбрых за социалистическую Родину.

За образцовое выполнение приказов командования, проявленный героизм, мужество и отвагу лейтенант Косарев достоин высшей правительственной награды – звания Героя Советского Союза посмертно.

Командир 8 САБР полковник Кочин
30 января 1945 года