Родился  22 апреля  1921 года в селе Шехмина Слобода (ныне  Шехмино Рыбновского района Рязанской области) в крестьянской семье. Русский. Образование неполное среднее – в 1937 году окончил 7 классов. Окончив в 1939 году двухгодичные курсы механиков сельскохозяйственных машин в городе Сапожок, работал трактористом Рыбновской машинно-тракторной станции (МТС). Призван в армию в 1940 году Рыбновским райвоенкоматом. Служил на Дальнем Востоке.

Во время Великой Отечественной войны в действующей армии – с 26 октября 1941 года. Сражался на различных фронтах, в том числе Южном, Юго-Западном, 1-м Украинском, 2-м и 1-м Белорусских. В 1943 году окончил трехмесячные курсы младших лейтенантов при 3-й гвардейской армии.

В течение войны четырежды ранен, из них дважды – тяжело.

Особо отличился во время Висло-Одерской стратегической наступательной операции на территории Польши.

При прорыве обороны противника севернее Варшавы 15 января 1945 года умело управлял ротой, обеспечив батальону выход к Висле и ее форсирование частями дивизии в районе города Легьоново (Легионово) Мазовецкого воеводства.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 февраля 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство гвардии старшему лейтенанту Куркову Николаю Акимовичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

После войны майор Н.А. Курков — в отставке. Работал трактористом в Рыбновской МТС, с 1947 года – разъездным механиком. В 1948 году окончил курсы повышения квалификации механиков при Саратовском институте механизации сельского хозяйства. С 1950 года — начальник электроцеха войсковой части в Саратове. В 1953 году уволен по сокращению штатов, вернулся в Рязанскую область. Работал в колхозе «Россия» рядовым колхозником, с 1963 года – слесарем, с 1973 года – сторожем и истопником. Жил в селе Новое Веселово (в 1976 году вошедшем в состав села Высокое) Рыбновского района.

Умер 22 июля 1997 года. Похоронен на кладбище села Высокое.

В селе Высокое на доме, где он жил, установлена мемориальная доска.

Награжден орденом Ленина (27.02.1945), 2 орденами Отечественной войны 1-й степени (17.05.1945; 11.03.1985), орденом Отечественной войны 2-й степени (18.10.1944), Красной Звезды (27.07.1944), медалями.

На 1-м Белорусском фронте в составе 143-й стрелковой дивизии 47-й армии участвовал в Люблин-Брестской наступательной операции (18 июля – 2 августа  1944 года) – составной  части Белорусской стратегической операции; Варшавско-Познанской наступательной операции (14 января – 3 февраля 1945 года) – составной  части стратегической Висло-Одерской операции; Восточно-Померанской стратегической наступательной операции (10 февраля – 4 апреля 1945 года); Берлинской стратегической наступательной операции (16 апреля – 8  мая 1945 года).

Во время Люблин-Брестской наступательной операции командир взвода 487-го стрелкового полка гвардии лейтенант Н.А.Курков в наступательном бою за высоту 188,5 у деревни Грабов Волынской области 21 июля 1944 года принял командование 8 стрелковой ротой, ворвался в траншеи противника и, несмотря на яростное сопротивление, овладел ими. В этом бою рота, которой он командовал, уничтожила 20 немецких солдат и офицеров и захватила в плен 5 немецких солдат. За отличие в этом бою награжден орденом Красной Звезды.

В наступательном бою на территории Польши за населенный пункт Плуды Варшавского воеводства 10 октября 1944 года после артиллерийской подготовки рота под командованием гвардии старшего лейтенанта Н.А.Куркова атаковала первую и вторую траншеи противника, истребила более 70 немецких солдат, 5 взяла в плен, захватила 4 ручных пулемета и другие трофеи. Первой в составе батальона выполнила поставленную задачу. Н.А.Курков был награжден орденом Отечественной войны 2-й степени.

Во время Берлинской стратегической наступательной операции при прорыве сильно укрепленной обороны противника на западном берегу реки Одер и в боях на Берлинском направлении гвардии капитан Н.А.Курков, командуя стрелковой ротой штурмового батальона, показал пример умелого взаимодействия с артиллерией и танками. С минимальными потерями выполнил поставленные задачи. Легко ранен 18 апреля 1945 года. Был награжден орденом Отечественной войны 1-й степени.

Из наградного листа на присвоение звания Героя Советского Союза

Тов. Курков, командуя штурмовой ротой,  во время прорыва долговременной обороны немцев севернее Варшавы 15 января 1945 года умело руководил действиями своей роты. Во главе роты тов. Курков ворвался в траншеи противника и в рукопашном бою уничтожал немецких захватчиков. В результате проявленного мужества тов. Куркова и руководимых им офицеров и бойцов немцы были выбиты из их укреплений. Тов. Курков умело организовал преследование составом роты отступающего противника и обеспечил быстрый выход роты и батальона к правому берегу реки Висла. Тем самым обеспечил быструю переправу частей дивизии на левый берег реки.

Достоин присвоения звания «Герой Советского Союза».

Командир 487 стрелкового Краснознаменного полка гвардии подполковник Тарасов
16 января 1945 года