Родился 27 октября 1923 года в деревне Крутое, ныне Санчурского района Кировской области, в крестьянской семье. Русский. В 1935 году семья переехала в деревню Перчеваж (Пестовское сельское поселение) ныне Шарангского района Нижегородской области. Окончил начальную школу в деревне Дёмино, затем 7 классов Падеринской школы, работал учётчиком тракторной бригады и молотобойцем в перчеважском колхозе «Парижская коммуна». В первый год Великой Отечественной войны прошёл подготовку на пункте всеобуча в деревне Дёмино, овладел винтовкой и автоматом.

Призван в армию Шарангским военкоматом в марте 1942 года и направлен в пехотное училище. Однако окончить училище ему не пришлось – в августе 1942 года курсантов училища направили на Северо-Западный фронт в район города Старая Русса. Здесь в октябре 1942 года командир отделения сержант А.Г.Мягчилов был ранен и контужен. После нескольких месяцев лечения в госпитале в 1943 году окончил курсы младших лейтенантов.

В дальнейшем сражался на 1-м Прибалтийском фронте в 9-й гвардейской стрелковой дивизии. В составе 39-й армии в конце 1943 – начале 1944 года участвовал в боях местного значения в районе города Рудня Смоленской области.

В апреле-мае 1944 года в составе 6-й гвардейской армии участвовал в боях на территории Псковской области северо-западнее Невеля.

Отличился в этих боях.

18-й гвардейский Краснознамённый полк 9-й гвардейской Краснознамённой стрелковой дивизии, в которой сражался Анатолий Мягчилов, готовился к наступлению. С особой тщательностью изучалась оборона немцев. Группа разведчиков  под командованием лейтенанта Скляра должна была проникнуть в тыл противника, изучить местность, выявить огневую систему, взять пленных.

В штабе была разработана разведывательная операция. Для отвлечения внимания  врага  было решено совершить налёт на опорный пункт фашистов, захватить его и удерживать до тех пор, пока разведчики не выполнят задание. Выполнение этой задачи было поручено взводу  гвардии лейтенанта Г.А.Мягчилова. 18 мая 1944 года он получил задание – вслед за разведчиками ворваться в расположение врага, выбить его с безымянной высоты в полутора километрах северо-западнее деревни Сысоево тогдашнего Идрицкого района Калининской области. Затем отходить, прикрывая разведгруппу своими активными действиями.

В заданное время А.Г.Мягчилов со своим взводом автоматчиков под сильным огнём противника прорвался через вражескую оборону и стремительной атакой захватил высоту. Шесть воинов, оставшихся целыми после штурма высоты, заняли круговую оборону. Немцы обрушили на высоту мощный артиллерийско-миномётный удар, после чего контратаковали высоту крупными силами пехоты. Гвардейцы отразили две контратаки, уничтожив около 50 солдат и двух офицеров противника. Однако их ряды таяли. Немцы подходили всё ближе.  А.Г.Мягчилов осколками мины был тяжело ранен в лицо. Видя опасность захвата его врагом, гвардии лейтенант А.Г.Мягчилов, расстреляв все патроны, с возгласом  «Гвардейцы не сдаются!» последней пулей из пистолета выстрелил себе в висок.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года за отвагу и мужество, проявленные  в боях при освобождении Псковской области, гвардии лейтенанту Мягчилову Анатолию Григорьевичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно).

А.Г.Мягчилов был похоронен  у деревни Сысоево. После войны перезахоронен в деревне Старицы Себежского района Псковской области, а затем снова перезахоронен на братском кладбище  в деревне  Байкино Красной волости Себежского муниципального района Псковской области, где покоятся останки 1411 советских воинов. Среди захороненных Герои Советского Союза гвардии лейтенант Анатолий Григорьевич Мягчилов и гвардии рядовой Виктор Семенович Шевелев. В центре деревни установлен памятник А.Г.Мягчилову.

Награждён орденами Ленина (22.07.1944), Красной Звезды.

При подготовке биографии использованы материалы, предоставленные С.В.Кузоватовым (г. Дзержинск Нижегородской области).